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Das Gleichgewicht der finiten Elemente
Das Gleichgewicht ist eines der wichtigsten Begriffe in der Baustatik. Grund genug also zu studieren, wie es die finiten Elemente mit dem Gleichgewicht halten.
Oftmals wird im Zusammenhang mit dem Gleichgewicht argumentiert, dass das Gleichgewicht der Knotenkräfte erfüllt sei. Diese Aussage erscheint insofern zweifelhaft, dass ein FE-Programm nicht mit Knotenkräften rechnet, sondern mit äquivalenten Arbeiten. Eine äquivalente Knotenkraft ist bei der FEM daher immer die Arbeit aus der aufgebrachten Belastung auf den Wegen der Einheitsverformungen der Knoten. Aus diesem Grund macht es keinen Sinn von einem 'Gleichgewicht der Knotenkräfte' zu sprechen. Nur bei Stabtragwerken ist die Analogie von Arbeiten und tatsächlichen Kräfte gegeben, nicht aber bei Scheiben, Platten oder Schalen.
Als erstes überprüft der Anwender, ob die Summe der äquivalenten Knotenkräfte an den Lagern mit der aufgebrachten Belastung übereinstimmt. Diese Kontrolle sagt jedoch wenig bis nichts über die Güte der Lösung aus. Egal, wie grobmaschig das Netz ist, diese Eigenschaft muss es erfüllen.
Schneiden wir ein einzelnes Element oder ein Elementpatch aus einem Tragwerk heraus, und überprüfen, ob die tatsächliche Belastung mit den Schnittkräften der FE-Lösung im Gleichgewicht steht, dann wird dies gewöhnlich nicht erfüllt sein. Wir haben also bei der FEM kein lokales Gleichgewicht. Die Gründe hierfür können anschaulich mit der Theorie des äquivalenten Lastfalls erläutert werden.
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